(0,1) બિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dy}{dx} = x + xy$.આને $\frac{dy}{dx} - xy =

Vedclass · Accepted Answer

$y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$

Vedclass · Answer

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dy}{dx} = x + xy$.આને $\frac{dy}{dx} - xy = x$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -x$ અને $Q = x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$.ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$,તો $dt = -x dx$,તેથી $x dx = -dt$.આમ,$\int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx = -\int e^t dt = -e^t = -e^{-\frac{x^2}{2}}$.આ કિંમત પાછી મૂકતા,$y e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + C$.$e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -1 + C e^{\frac{x^2}{2}}$ મળે છે.વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:$1 = -1 + C e^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ છે.

Similar Questions

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $(4+x^{2}) dy - 2x(x^{2}+3y+4) dx = 0$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$e^{\frac{y}{x}} = x, y(1) = 3, x > 0$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module