ધારો કે વિકલ સમીકરણ (4+x^{2}) dy - 2x(x^{2}+3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ છે.ગોઠવતા,આપણને $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ મળે છે.$(x^{2}+4) \frac{dy}{dx}

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ છે.ગોઠવતા,આપણને $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ મળે છે.$(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} - 6xy = 2x(x^{2}+4)$.$(x^{2}+4)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{6x}{x^{2}+4} y = 2x$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{6x}{x^{2}+4}$ અને $Q(x) = 2x$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{6x}{x^{2}+4} dx} = e^{-3 \ln(x^{2}+4)} = (x^{2}+4)^{-3} = \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}}$.ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int \frac{2x}{(x^{2}+4)^{3}} dx$.ધારો કે $t = x^{2}+4$,તો $dt = 2x dx$.$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x^{2}+4)^{2}} + C$.વક્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 = -\frac{1}{2(4)^{2}} + C \implies C = \frac{1}{32}$.આમ,$y = -\frac{(x^{2}+4)^{3}}{2(x^{2}+4)^{2}} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32} = -\frac{x^{2}+4}{2} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32}$.$x=2$ માટે,$y(2) = -\frac{4+4}{2} + \frac{(4+4)^{3}}{32} = -4 + \frac{512}{32} = -4 + 16 = 8$.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $(4+x^{2}) dy - 2x(x^{2}+3y+4) dx = 0$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ નો ઉકેલ હોય, તો $f(4) = $ ?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module