वक्र $3x^{2}-y^{2}=8$ के उन अभिलंबों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+3y=4$ के समांतर हैं।

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $3x^{2}-y^{2}=8$ $(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{2y} = \frac{3x}{y}$।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_{1} = \frac{3x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{y}{3x}$ $(ii)$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा $x+3y=4$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
रेखा $x+3y=4$ के लिए,$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$,अतः ढाल $m_{3} = -\frac{1}{3}$ है।
$m_{2} = m_{3}$ रखने पर,हमें $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
$y=x$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3x^{2} - x^{2} = 8 \Rightarrow 2x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x=2$,तो $y=2$। यदि $x=-2$,तो $y=-2$। बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।
इन बिंदुओं पर अभिलंब की ढाल $m_{2} = -\frac{y}{3x} = -\frac{2}{3(2)} = -\frac{1}{3}$ है।
$(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y = 8$ है।
$(-2, -2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y = -8$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x + 3y = \pm 8$ हैं।