$(0,1,2)$ અને $(-1,0,3)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અને $2x+3y+z=5$ સમતલને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

જો બિંદુઓ $\overline{i} + 2\overline{j}$ અને $\overline{j} - 2\overline{k}$ ને જોડતી રેખા,બિંદુઓ $2\overline{i} - \overline{j}$,$2\overline{j} + 3\overline{k}$ અને $\overline{k} - 2\overline{i}$ માંથી પસાર થતા સમતલને $\overline{r}$ બિંદુએ છેદે,તો $\overline{r} \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = $

રેખા $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{2}$ અને સમતલ $2x - 3y + z + 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $\lambda_1 < \lambda_2$ એ $\lambda$ ની બે એવી કિંમતો હોય કે જેથી સમતલો $P_1: \vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}) = 7$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 9$ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$ હોય,તો બિંદુ $(38 \lambda_1, 10 \lambda_2, 2)$ થી સમતલ $P_1$ પરના લંબની લંબાઈનો વર્ગ $...........$ છે.

દર્શાવો કે સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 19$ અને $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ પરસ્પર લંબ છે. આ બે સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(3, 2, 0)$ અને રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{4}$ ને સમાવતું સમતલ કયા બિંદુને પણ સમાવે છે?