अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 log x क | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$। $x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$। यह $\frac{dy}{dx} +

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$y = \frac{1}{16} x^2 (4 \log x - 1) + Cx^{-2}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$। $x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x \log x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$। व्यापक हल: $y(IF) = \int (Q 	imes IF) dx + C$। मान रखने पर: $y \cdot x^2 = \int (x \log x \cdot x^2) dx + C = \int x^3 \log x dx + C$। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int (\frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} + C$। अतः,$x^2 y = \frac{x^4}{16} (4 \log x - 1) + C$। $x^2$ से भाग देने पर,व्यापक हल: $y = \frac{1}{16} x^2 (4 \log x - 1) + Cx^{-2}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos^2 x}$,$x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ और $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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