यदि एक वक्र y=y(x) बिंदु left(1, frac{pi}{2}r | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(7 x^4 \cot y-e^x \operatorname{cosec} y\right) \frac{d x}{d y}=x^5$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d

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$\frac{2 e^2-e}{128}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(7 x^4 \cot y-e^x \operatorname{cosec} y\right) \frac{d x}{d y}=x^5$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d x} = \frac{7 \cot y}{x} - \frac{e^x \operatorname{cosec} y}{x^5}$. $\sin y$ से गुणा करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} - \frac{7 \cos y}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$. माना $t = \cos y$,तो $\frac{d t}{d x} = -\sin y \frac{d y}{d x}$. समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{d t}{d x} - \frac{7 t}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$,अर्थात $\frac{d t}{d x} + \frac{7 t}{x} = \frac{e^x}{x^5}$. यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = x^7$ है। हल: $t \cdot x^7 = \int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$. $x=1, y=\frac{\pi}{2}$ रखने पर,$0 = e + C \implies C = -e$. अतः,$\cos y = \frac{e^x(x^2 - 2x + 2) - e}{x^7}$. $x=2$ के लिए,$\cos y = \frac{e^2(4 - 4 + 2) - e}{128} = \frac{2e^2 - e}{128}$.

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