अवकल समीकरण ydx - xdy + log x dx = 0 का हल है | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $ydx - xdy + \log x dx = 0$। $x dx$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{y}{x} - \frac{dy}{dx} + \f

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$y = cx - (1 + \log x)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $ydx - xdy + \log x dx = 0$। $x dx$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{y}{x} - \frac{dy}{dx} + \frac{\log x}{x} = 0$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{\log x}{x}$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\log x}{x}$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ है। हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $y \cdot \frac{1}{x} = \int \frac{\log x}{x} \cdot \frac{1}{x} dx + c = \int \frac{\log x}{x^2} dx + c$। $\int \frac{\log x}{x^2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = \log x$ और $dv = x^{-2} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{1}{x}$ प्राप्त होता है। $\int \frac{\log x}{x^2} dx = (\log x)(-\frac{1}{x}) - \int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{x}) dx = -\frac{\log x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}$। अतः,$\frac{y}{x} = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + c$। $x$ से गुणा करने पर,$y = -\log x - 1 + cx$ प्राप्त होता है,जो कि $y = cx - (1 + \log x)$ है।

अवकल समीकरण $ydx - xdy + \log x dx = 0$ का हल है

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