मान लीजिए y=f(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल

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$27$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ (चूंकि $-1 हल $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^6+4x) dx = \frac{x^7}{7} + 2x^2 + C$ है।$f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C \Rightarrow C=0$।अतः,$f(x) = \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$।हमें $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।$\frac{x^7/7}{\sqrt{1-x^2}}$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-1/2, 1/2]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा।अतः,व्यंजक $6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = 24 \int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ बन जाता है।मान लीजिए $x = \sin 	heta$,तो $dx = \cos 	heta d	heta$। जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=1/2, 	heta=\pi/6$।समाकलन = $24 \int_0^{\pi/6} \frac{\sin^2 	heta}{\cos 	heta} \cos 	heta d	heta = 24 \int_0^{\pi/6} \sin^2 	heta d	heta = 24 \int_0^{\pi/6} \frac{1-\cos 2	heta}{2} d	heta = 12 [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_0^{\pi/6} = 12(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2\pi - 3\sqrt{3}$।$2\pi - \alpha$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\alpha^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$।

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