ધારો કે y=f(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ

Vedclass · Accepted Answer

$27$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ (કારણ કે $-1 ઉકેલ $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^6+4x) dx = \frac{x^7}{7} + 2x^2 + C$ છે.$f(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = 0 + 0 + C \Rightarrow C=0$.તેથી,$f(x) = \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.આપણે $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$\frac{x^7/7}{\sqrt{1-x^2}}$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$[-1/2, 1/2]$ પર તેનું સંકલન $0$ થાય છે.તેથી,પદ $6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = 24 \int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ બને છે.ધારો કે $x = \sin 	heta$,તો $dx = \cos 	heta d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=1/2, 	heta=\pi/6$.સંકલન = $24 \int_0^{\pi/6} \frac{\sin^2 	heta}{\cos 	heta} \cos 	heta d	heta = 24 \int_0^{\pi/6} \sin^2 	heta d	heta = 24 \int_0^{\pi/6} \frac{1-\cos 2	heta}{2} d	heta = 12 [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_0^{\pi/6} = 12(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2\pi - 3\sqrt{3}$.$2\pi - \alpha$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 3\sqrt{3}$ મળે છે.તેથી,$\alpha^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 2$ છે.

$y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ નો ઉકેલ કયા પ્રકારના વક્રનું કુળ દર્શાવે છે?

વિકલ સમીકરણ $ydx - xdy + \log x dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module