વિકલ સમીકરણ 2 frac{dy}{dx} - frac{y}{x} = fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.$y^2$ વડે ભાગતા: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.ધારો

Vedclass · Accepted Answer

$y = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.$y^2$ વડે ભાગતા: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.ધારો કે $v = y^{-1}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-2 \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{2x} = -\frac{1}{2x^2}$ થાય છે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$ છે.$IF$ વડે ગુણતા: $\sqrt{x} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$,એટલે કે $\frac{d}{dx}(v \sqrt{x}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \int x^{-3/2} dx = -\frac{1}{2} \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{1}{\sqrt{x}} + C$.તેથી,$v = \frac{1}{x} + \frac{C}{\sqrt{x}} = \frac{1 + C\sqrt{x}}{x}$.$v = 1/y$ હોવાથી,$y = \frac{x}{1 + C\sqrt{x}}$.$x = 1$ ત્યારે $y = 2$ આપેલ છે: $2 = \frac{1}{1 + C}$,તેથી $2 + 2C = 1$,એટલે કે $2C = -1$ અથવા $C = -1/2$.$C$ ની કિંમત મૂકતા: $y = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$.તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

વિકલ સમીકરણ $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 2$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. જો $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}, y(0) = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો વક્રના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $-y+e^{-x}$ હોય,તો ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શું હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module