अवकल समीकरण 2 frac{dy}{dx} - frac{y}{x} = fra | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.$y^2$ से भाग देने पर: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^

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$y = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.$y^2$ से भाग देने पर: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.माना $v = y^{-1}$,तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,अर्थात $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $-2 \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{2x} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$ है।$IF$ से गुणा करने पर: $\sqrt{x} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$,अर्थात $\frac{d}{dx}(v \sqrt{x}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \int x^{-3/2} dx = -\frac{1}{2} \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{1}{\sqrt{x}} + C$.अतः,$v = \frac{1}{x} + \frac{C}{\sqrt{x}} = \frac{1 + C\sqrt{x}}{x}$.चूंकि $v = 1/y$,इसलिए $y = \frac{x}{1 + C\sqrt{x}}$.$x = 1$ पर $y = 2$ दिया गया है: $2 = \frac{1}{1 + C}$,जिससे $2 + 2C = 1$,अर्थात $2C = -1$ या $C = -1/2$.$C$ का मान रखने पर: $y = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$.अतः,सही विकल्प $B$ है।

अवकल समीकरण $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x = 1$ होने पर $y = 2$ है।

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