मान लीजिए कि y=y(t) अवकल समीकरण frac{dy}{dt}+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = \alpha$ और $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ है।समाक

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = \alpha$ और $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \alpha dt} = e^{\alpha t}$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ है।मान रखने पर,$y e^{\alpha t} = \int \gamma e^{-\beta t} \cdot e^{\alpha t} dt + C = \gamma \int e^{(\alpha - \beta)t} dt + C$ प्राप्त होता है।स्थिति $1$: यदि $\alpha 
eq \beta$ है,तो $y e^{\alpha t} = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{(\alpha - \beta)t} + C$,जिसका अर्थ है $y(t) = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + C e^{-\alpha t}$।चूंकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए जैसे ही $t ightarrow \infty$,$e^{-\beta t} ightarrow 0$ और $e^{-\alpha t} ightarrow 0$ होता है।अतः,$\lim_{t ightarrow \infty} y(t) = 0 + 0 = 0$ है।स्थिति $2$: यदि $\alpha = \beta$ है,तो $y e^{\alpha t} = \int \gamma dt + C = \gamma t + C$,जिसका अर्थ है $y(t) = \gamma t e^{-\alpha t} + C e^{-\alpha t}$।$L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,$\lim_{t ightarrow \infty} \frac{\gamma t}{e^{\alpha t}} = \lim_{t ightarrow \infty} \frac{\gamma}{\alpha e^{\alpha t}} = 0$ है।इस प्रकार,दोनों स्थितियों में,$\lim_{t ightarrow \infty} y(t) = 0$ है।

मान लीजिए कि $y=y(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ का एक हल है,जहाँ $\alpha > 0, \beta > 0$ और $\gamma > 0$ है। तब $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ है:

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