यदि intlimits_a^x {t,y(t)dt} = x^2 + y(x) है, | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$x\,y(x) = 2x + y'(x)$पदों को व्यवस्थित

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$y = 2 - (2 + a^2)e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$

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(A) दिया गया समीकरण $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$x\,y(x) = 2x + y'(x)$पदों को व्यवस्थित करने पर:$y'(x) - x\,y(x) = -2x$यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -x$ और $Q(x) = -2x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$:$I.F. = e^{\int -x\,dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$समीकरण को $I.F.$ से गुणा करने पर:$e^{-\frac{x^2}{2}} \frac{dy}{dx} - x\,e^{-\frac{x^2}{2}} y = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$$\frac{d}{dx} \left( y\,e^{-\frac{x^2}{2}} \right) = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = \int -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = 2\,e^{-\frac{x^2}{2}} + C$$y = 2 + C\,e^{\frac{x^2}{2}}$$x = a$ रखने पर,$y(a) = -a^2$ प्राप्त होता है।$-a^2 = 2 + C\,e^{\frac{a^2}{2}} \implies C = -(2 + a^2)e^{-\frac{a^2}{2}}$अतः,$y = 2 - (2 + a^2)e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$।

यदि $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ है,तो $x$ के फलन के रूप में $y$ क्या है?

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