यदि अवकल समीकरण begin{vmatrix} f(x) & f'(x) | vedclass

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Question

(C) दिया गया सारणिक समीकरण $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ है।इसे $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $\frac{f'(

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$f'(x) = 2f(x)$

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(C) दिया गया सारणिक समीकरण $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ है।इसे $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का अवकलज है।अतः, $\frac{d}{dx} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) = 0$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = k$ (एक स्थिरांक) प्राप्त होता है।$x = 0$ पर, $k = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{2}{1} = 2$ है।इसलिए, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2$, जिसका अर्थ है $f'(x) = 2f(x)$।

यदि अवकल समीकरण $\begin{vmatrix} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{vmatrix} = 0$ सभी $x$ के लिए सत्य है और $f(0) = 1, f'(0) = 2$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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