अवकल समीकरण 3 x log _{e} x frac{d y}{d x}+y=2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$. दोनों पक्षों को $3 x \log _{e} x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता ह

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$(\log _{e} x)^{1 / 3}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$. दोनों पक्षों को $3 x \log _{e} x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3 x \log _{e} x} y = \frac{2}{3 x}$. यह $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{3 x \log _{e} x}$. समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P d x}$ है। $IF = e^{\int \frac{1}{3 x \log _{e} x} d x}$. मान लीजिए $t = \log _{e} x$, तब $d t = \frac{1}{x} d x$. $IF = e^{\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t} = e^{\frac{1}{3} \log _{e} t} = e^{\log _{e} (t^{1/3})} = t^{1/3}$. $t = \log _{e} x$ वापस रखने पर, हमें $IF = (\log _{e} x)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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