मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (x^2+1) y^{pr | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ है। $(x^2+1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ है। $(x^2+1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ और $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ है। हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है। $y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$. चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$. अतः,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$। अब,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$। चूंकि $x^2 \sin x$ और $\sin x$ विषम फलन हैं,$[-3, 3]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है। अतः,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2+1) y^{\prime}-2 x y=(x^4+2 x^2+1) \cos x$ का हल है,जहाँ $y(0)=1$ है। तो $\int_{-3}^3 y(x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ का हल है

अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \sin 2y = x^3 \cos^2 y$ द्वारा निरूपित वक्रों का परिवार है:

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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