अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{1}{x} sin 2y | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \sin 2y = x^3 \cos^2 y$. $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$ का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{2}

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$6x^2 	an y = x^6 + C$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \sin 2y = x^3 \cos^2 y$. $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$ का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} \sin y \cos y = x^3 \cos^2 y$. दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sec^2 y \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} 	an y = x^3$. माना $z = 	an y$,तब $\frac{dz}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$. समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x} z = x^3$. यह $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x^3$. समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln x} = x^2$ है। हल $z \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है। $z \cdot x^2 = \int x^3 \cdot x^2 dx + C = \int x^5 dx + C$. $z x^2 = \frac{x^6}{6} + C$. $z = 	an y$ प्रतिस्थापित करने पर: $(	an y) x^2 = \frac{x^6}{6} + C$. $6$ से गुणा करने पर: $6x^2 	an y = x^6 + 6C$. चूँकि $6C$ एक स्वेच्छ अचर है,इसे $C$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$6x^2 	an y = x^6 + C$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \sin 2y = x^3 \cos^2 y$ द्वारा निरूपित वक्रों का परिवार है:

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