माना अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+frac{xy}{x^{2}- | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल

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$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ है।सामान्य हल $y \cdot 	ext{I.F.} = \int Q(x) \cdot 	ext{I.F.} dx + C$ है।$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^4+2x) dx = \frac{x^5}{5} + x^2 + C$.चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.हमें $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन $\frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}}$ और एक सम फलन $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ का योग है,इसलिए विषम भाग का समाकलन $0$ होगा।अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$.$x = \sin 	heta$ रखने पर,$dx = \cos 	heta d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, 	heta=\frac{\pi}{3}$.$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 	heta}{\cos 	heta} \cos 	heta d	heta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 	heta d	heta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2	heta) d	heta = [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

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