मान लीजिए f: R to R इस प्रकार है कि सभी x, y | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f(xy) = f(x)f(y)$ और $f(0) 
e 0$ है। चूँकि $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$, और $f(0) 
e 0$, इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) =

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$15$/$32$

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(C) दिया गया है कि $f(xy) = f(x)f(y)$ और $f(0) 
e 0$ है। चूँकि $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$, और $f(0) 
e 0$, इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।दिए गए समाकल समीकरण में $f(x) = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 - t g(t)) dt$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2x g(x) + x^2 g'(x) = x^2 - x g(x)$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 g'(x) + 3x g(x) = x^2$.$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \ge 1$ के लिए): $g'(x) + \frac{3}{x} g(x) = 1$.यह $g'(x) + P(x)g(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = 3/x$ और $Q(x) = 1$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int (3/x) dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ है।सामान्य हल $g(x) \cdot x^3 = \int (1 \cdot x^3) dx = \frac{x^4}{4} + C$ है।$x = 1$ पर, समाकल $\int_1^1 (t^2 - t g(t)) dt = 0$, इसलिए $1^2 g(1) = 0 \implies g(1) = 0$ है।हल में $x = 1$ रखने पर: $0 \cdot 1^3 = \frac{1^4}{4} + C \implies C = -1/4$ है।अतः, $g(x) x^3 = \frac{x^4 - 1}{4}$, जिससे $g(x) = \frac{x^4 - 1}{4x^3}$ प्राप्त होता है।$x = 2$ के लिए, $g(2) = \frac{2^4 - 1}{4(2^3)} = \frac{16 - 1}{4(8)} = \frac{15}{32}$ है।

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