ધારો કે વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+frac{xy}{x^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot 	ext{I.F.} = \int Q(x) \cdot 	ext{I.F.} dx + C$ છે.$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^4+2x) dx = \frac{x^5}{5} + x^2 + C$.વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = 0 + 0 + C$,એટલે કે $C = 0$.તેથી,$f(x) = \frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.આપણે $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય $\frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}}$ અને યુગ્મ વિધેય $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ નો સરવાળો છે,તેથી અયુગ્મ ભાગનું સંકલન $0$ થશે.તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$.$x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, 	heta=\frac{\pi}{3}$.$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 	heta}{\cos 	heta} \cos 	heta d	heta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 	heta d	heta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2	heta) d	heta = [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0, y > 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2) = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x^2 + 3x + 2$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module