વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2) = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec^2 x dx + (e^{2y} \tan^2 x + \tan x) dy = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$ અને $y(\frac{\pi}{4}) = 0$ છે. જો $y(\frac{\pi}{6}) = \alpha$ હોય,તો $e^{8\alpha}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં એક વિકલનીય વિધેય છે, જેથી $y(1)=2$ અને દરેક $x>0$ માટે $\lim_{t \rightarrow x} \left( \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} \right) = 3$ થાય છે. તો $2y(2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં પ્રારંભિક શરત $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$ છે. તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો વક્ર $f(x, y) = 0$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ આગળ સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ $x + 7y^2$ હોય, તો $f(x, y) =$

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3, (x > 0)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.