मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है जैसे कि f'(x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) + \frac{3}{4x} f(x) = 7$ है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}

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अस्तित्व में है और $4$ के बराबर है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) + \frac{3}{4x} f(x) = 7$ है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{4x}$ और $Q(x) = 7$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{4x} dx} = e^{\frac{3}{4} \ln x} = x^{3/4}$ है। व्यापक हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है। $f(x) \cdot x^{3/4} = \int 7 x^{3/4} dx + c = 7 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} + c = 4x^{7/4} + c$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = 4x + c x^{-3/4}$ है। अब,हम $\lim_{x 	o 0^+} x f\left(\frac{1}{x}ight)$ का मान ज्ञात करते हैं। $f\left(\frac{1}{x}ight) = 4\left(\frac{1}{x}ight) + c\left(\frac{1}{x}ight)^{-3/4} = \frac{4}{x} + c x^{3/4}$ है। इसलिए,$\lim_{x 	o 0^+} x f\left(\frac{1}{x}ight) = \lim_{x 	o 0^+} x \left(\frac{4}{x} + c x^{3/4}ight) = \lim_{x 	o 0^+} (4 + c x^{7/4}) = 4$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f'(x) = 7 - \frac{3}{4} \frac{f(x)}{x}, (x > 0)$ और $f(1) \neq 4$ है। तो $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$

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