माना y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}=2(y+2 si | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x -

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$2 e^{\pi^{2}}+5$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -2x$ और $Q(x) = 4x \sin x - 10x - 2 \cos x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^{2}}$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x^{2}} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 10x - 2 \cos x)$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d}{dx}(y \cdot e^{-x^{2}}) = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 2 \cos x) - 10x e^{-x^{2}}$ में सरल हो जाता है।ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x)) = e^{-x^{2}}(-2 \cos x) + (5 - 2 \sin x)(-2x e^{-x^{2}}) = -2 \cos x e^{-x^{2}} - 10x e^{-x^{2}} + 4x \sin x e^{-x^{2}}$ है।अतः,$y \cdot e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x) + C$ प्राप्त होता है।$e^{-x^{2}}$ से भाग देने पर,$y = 5 - 2 \sin x + C e^{x^{2}}$ प्राप्त होता है।चूंकि $y(0) = 7$ दिया गया है,इसलिए $7 = 5 - 2 \sin(0) + C e^{0} \Rightarrow 7 = 5 + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$y(x) = 5 - 2 \sin x + 2 e^{x^{2}}$ है।$x = \pi$ पर,$y(\pi) = 5 - 2 \sin(\pi) + 2 e^{\pi^{2}} = 5 - 0 + 2 e^{\pi^{2}} = 2 e^{\pi^{2}} + 5$ प्राप्त होता है।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=2(y+2 \sin x-5)x-2 \cos x$ का हल है,जहाँ $y(0)=7$ है। तो $y(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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