ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}=2(y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$

Vedclass · Accepted Answer

$2 e^{\pi^{2}}+5$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -2x$ અને $Q(x) = 4x \sin x - 10x - 2 \cos x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^{2}}$ છે.બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x^{2}} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 10x - 2 \cos x)$ મળે છે.આ $\frac{d}{dx}(y \cdot e^{-x^{2}}) = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 2 \cos x) - 10x e^{-x^{2}}$ માં પરિણમે છે.નોંધો કે $\frac{d}{dx}(e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x)) = e^{-x^{2}}(-2 \cos x) + (5 - 2 \sin x)(-2x e^{-x^{2}}) = -2 \cos x e^{-x^{2}} - 10x e^{-x^{2}} + 4x \sin x e^{-x^{2}}$ થાય છે.તેથી,$y \cdot e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x) + C$ મળે છે.$e^{-x^{2}}$ વડે ભાગતા,$y = 5 - 2 \sin x + C e^{x^{2}}$ મળે છે.$y(0) = 7$ આપેલ હોવાથી,$7 = 5 - 2 \sin(0) + C e^{0} \Rightarrow 7 = 5 + C \Rightarrow C = 2$ મળે છે.તેથી,$y(x) = 5 - 2 \sin x + 2 e^{x^{2}}$ છે.$x = \pi$ પર,$y(\pi) = 5 - 2 \sin(\pi) + 2 e^{\pi^{2}} = 5 - 0 + 2 e^{\pi^{2}} = 2 e^{\pi^{2}} + 5$ થાય છે.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=2(y+2 \sin x-5)x-2 \cos x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=7$ છે. તો $y(\pi)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ એ . . . . . . વિકલ સમીકરણ છે.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$; જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$ ત્યારે $y = 0$.

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module