अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

यदि $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ है,तो अवकल समीकरण $\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (\tan 2x) y = \cos^{4} x$ का व्यापक हल क्या है?

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ का हल है,जहाँ $x(e^4 - 2) = 1$ है। तो $x(e^9 - 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y(x)$ अवकल समीकरण $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ का एक हल है। यदि $y(0)=2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $y(-4)=0$
$(B)$ $y(-2)=0$
$(C)$ $y(x)$ का अंतराल $(-1,0)$ में एक क्रांतिक बिंदु है
$(D)$ $y(x)$ का अंतराल $(-1,0)$ में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(\tan x)^{1/2} dy = (\sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y) dx$ का हल है, जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$ है। यदि $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{4}{5}\alpha$ है, तो $\alpha^4$ का मान . . . . . . . है।

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $(4+x^{2}) dy - 2x(x^{2}+3y+4) dx = 0$ का हल वक्र $y=y(x)$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।