मान लीजिए कि x = x(y) अवकल समीकरण 2(y + 2) lo | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(y + 2) \ln(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \ln(y + 2)) dy = 0$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x + 4 - 2 \ln(

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$\frac{32}{9}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(y + 2) \ln(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \ln(y + 2)) dy = 0$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x + 4 - 2 \ln(y + 2)}{2(y + 2) \ln(y + 2)}$ प्राप्त होता है।इसे $2(y + 2) \ln(y + 2) \frac{dx}{dy} + x = 2 \ln(y + 2) - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $t = \ln(y + 2)$,तो $dt = \frac{1}{y + 2} dy$,इसलिए $dy = (y + 2) dt$।समीकरण $2t \frac{dx}{dt} + x = 2t - 4$,या $\frac{dx}{dt} + \frac{x}{2t} = 1 - \frac{2}{t}$ बन जाता है।यह $t$ के सापेक्ष $x$ का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{2t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t}$ है।$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dt}(x \sqrt{t}) = \sqrt{t} - \frac{2}{\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x \sqrt{t} = \int (t^{1/2} - 2t^{-1/2}) dt = \frac{2}{3} t^{3/2} - 4t^{1/2} + C$।$\sqrt{t}$ से भाग देने पर,$x = \frac{2}{3} t - 4 + \frac{C}{\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।$t = \ln(y + 2)$ रखने पर,$x = \frac{2}{3} \ln(y + 2) - 4 + \frac{C}{\sqrt{\ln(y + 2)}}$।दिया गया है कि $x(e^4 - 2) = 1$,इसलिए $y = e^4 - 2$,$t = \ln(e^4) = 4$,$x = 1$।$1 = \frac{2}{3}(4) - 4 + \frac{C}{\sqrt{4}} \implies 1 = \frac{8}{3} - 4 + \frac{C}{2} \implies 1 = -\frac{4}{3} + \frac{C}{2} \implies \frac{C}{2} = \frac{7}{3} \implies C = \frac{14}{3}$।अब $x(e^9 - 2)$ ज्ञात करें,इसलिए $y = e^9 - 2$,$t = \ln(e^9) = 9$।$x = \frac{2}{3}(9) - 4 + \frac{14/3}{\sqrt{9}} = 6 - 4 + \frac{14/3}{3} = 2 + \frac{14}{9} = \frac{32}{9}$।

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ का हल है,जहाँ $x(e^4 - 2) = 1$ है। तो $x(e^9 - 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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