मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण x(x^2 + e^x) d | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0$ है।इसे रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:$x(x^2 + e

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$\frac{4}{4+e^2}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0$ है।इसे रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:$x(x^2 + e^x) \frac{dy}{dx} + e^x(x-2)y = x^3$$\frac{dy}{dx} + \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} y = \frac{x^2}{x^2 + e^x}$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} dx}$.मान लीजिए $u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$. तब $du = \frac{x^2 e^x - e^x(2x)}{x^4} dx = \frac{e^x(x-2)}{x^3} dx$.अतः,$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{u} du} = u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int \frac{x^2}{x^2 + e^x} \cdot (\frac{x^2 + e^x}{x^2}) dx + C$.$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int 1 dx + C = x + C$.चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0(1 + e) = 1 + C$,जिससे $C = -1$.अतः,$y = \frac{x-1}{1 + \frac{e^x}{x^2}}$.$x = 2$ के लिए,$y(2) = \frac{2-1}{1 + \frac{e^2}{4}} = \frac{1}{\frac{4+e^2}{4}} = \frac{4}{4+e^2}$.

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0, x > 0$ का हल वक्र है,जो बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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