अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{x} = x^2 क | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$

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$4xy = x^4 + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$. व्यापक हल $y 	imes (I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$y 	imes x = \int (x^2 	imes x) dx + c$. $xy = \int x^3 dx + c$. $xy = \frac{x^4}{4} + c$. दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,हमें $4xy = x^4 + 4c$ प्राप्त होता है। चूँकि $4c$ एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $c$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,हल $4xy = x^4 + c$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ का हल है

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