मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण x^{4}dy + (4x^{3 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $x^{4}dy + 4x^{3}ydx = -2\sin x dx$ प्राप्त होता है

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$81$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $x^{4}dy + 4x^{3}ydx = -2\sin x dx$ प्राप्त होता है। इसे $d(x^{4}y) = -2\sin x dx$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int d(x^{4}y) = \int -2\sin x dx$, जिससे $x^{4}y = 2\cos x + C$ प्राप्त होता है। शर्त $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ दी गई है, इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर: $(\frac{\pi}{2})^{4}(0) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + C \Rightarrow 0 = 2(0) + C \Rightarrow C = 0$. अतः, हल $x^{4}y = 2\cos x$ है। अब, हमें $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ ज्ञात करना है। $x = \frac{\pi}{3}$ पर, $(\frac{\pi}{3})^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3})$। चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, हमें $\frac{\pi^{4}}{81} y(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$ प्राप्त होता है। इसलिए, $\pi^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 81$।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$, $x>0$, $y(\frac{\pi}{2})=0$ का हल है। तो $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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