यदि y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y tan x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an x$ और $Q = x \sec x$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^

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$\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \log_e\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}\right)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an x$ और $Q = x \sec x$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ है। व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है। $y \sec x = \int (x \sec x) \cdot \sec x dx = \int x \sec^2 x dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \sec^2 x dx = x 	an x - \int 	an x dx = x 	an x - \ln|\sec x| + C$. अतः,$y \sec x = x 	an x - \ln|\sec x| + C$. चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot \sec(0) = 0 \cdot 	an(0) - \ln|\sec(0)| + C \Rightarrow 1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$. इस प्रकार,$y \sec x = x 	an x - \ln|\sec x| + 1$. $x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\sec\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $	an\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $y \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + 1$. $y = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + 1 ight) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + \frac{\sqrt{3}}{2}$. चूंकि $1 = \ln e$,इसलिए $y = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) ight) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{e\sqrt{3}}{2}ight) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}ight)$.

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ का हल वक्र है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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