જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + y tan | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = x \sec x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \log_e\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = x \sec x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે. $y \sec x = \int (x \sec x) \cdot \sec x dx = \int x \sec^2 x dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sec^2 x dx = x 	an x - \int 	an x dx = x 	an x - \ln|\sec x| + C$. તેથી,$y \sec x = x 	an x - \ln|\sec x| + C$. $y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot \sec(0) = 0 \cdot 	an(0) - \ln|\sec(0)| + C \Rightarrow 1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$. આમ,$y \sec x = x 	an x - \ln|\sec x| + 1$. $x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sec\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $	an\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $y \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + 1$. $y = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + 1 ight) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + \frac{\sqrt{3}}{2}$. $1 = \ln e$ હોવાથી,$y = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) ight) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{e\sqrt{3}}{2}ight) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}ight)$.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ નો ઉકેલ વક્ર હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$ અને $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{6})$ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + e^x(x^2 - 2)y = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ નો ઉકેલ $y(0) = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. જો $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module