यदि int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x) है,तो | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x)$  $(1)$लीबनीज के नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$x y(x) = 2

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$y = 2 - (2 + a^2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$

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(A) दिया गया समीकरण: $\int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x)$  $(1)$लीबनीज के नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$x y(x) = 2x + \frac{dy}{dx}$पदों को व्यवस्थित करने पर:$\frac{dy}{dx} = x y - 2x = x(y - 2)$चरों को अलग करने पर:$\int \frac{dy}{y - 2} = \int x dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\ln |y - 2| = \frac{x^2}{2} + C$$y - 2 = K e^{\frac{x^2}{2}}$ (जहाँ $K = \pm e^C$)$x = a$ पर,समाकलन $\int_{a}^{a} t y(t) dt = 0$ होता है,इसलिए $(1)$ से:$0 = a^2 + y(a) \Rightarrow y(a) = -a^2$$x = a$ और $y = -a^2$ को सामान्य हल में रखने पर:$-a^2 - 2 = K e^{\frac{a^2}{2}}$$K = -(a^2 + 2) e^{-\frac{a^2}{2}}$$K$ का मान समीकरण में वापस रखने पर:$y - 2 = -(a^2 + 2) e^{-\frac{a^2}{2}} \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$$y - 2 = -(a^2 + 2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$$y = 2 - (2 + a^2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$

यदि $\int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x)$ है,तो $x$ के फलन के रूप में $y$ क्या है?

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