વિધેય $f(x) = x^{2} + 2x - 5$ કયા અંતરાલોમાં ચુસ્ત રીતે વધતું અથવા ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે તે શોધો.

આપણી પાસે છે,$f(x) = x^{2} + 2x - 5$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 5) = 2x + 2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
બિંદુ $x = -1$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાને બે અલગ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -1)$ અને $(-1, \infty)$.
કિસ્સો $1$: અંતરાલ $(-\infty, -1)$ માં,એક ટેસ્ટ પોઈન્ટ લો,ધારો કે $x = -2$.
$f'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$.
કારણ કે $f'(x) < 0$ તમામ $x \in (-\infty, -1)$ માટે,વિધેય $f$ એ $(-\infty, -1)$ માં ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે.
કિસ્સો $2$: અંતરાલ $(-1, \infty)$ માં,એક ટેસ્ટ પોઈન્ટ લો,ધારો કે $x = 0$.
$f'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0$.
કારણ કે $f'(x) > 0$ તમામ $x \in (-1, \infty)$ માટે,વિધેય $f$ એ $(-1, \infty)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $(-\infty, -1)$ પર ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે અને $(-1, \infty)$ પર ચુસ્ત રીતે વધતું છે.