વિધેય $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$ માટે નીચેના અંતરાલો શોધો:
$(a)$ વધતું વિધેય
$(b)$ ઘટતું વિધેય.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 12x^2 - 12x - 72$
$f'(x) = 12(x^2 - x - 6)$
$f'(x) = 12(x - 3)(x + 2)$
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$12(x - 3)(x + 2) = 0$
$x = 3$ અથવા $x = -2$.
બિંદુઓ $x = -2$ અને $x = 3$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -2)$,$(-2, 3)$,અને $(3, \infty)$.
દરેક અંતરાલમાં $f'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$1$. $(-\infty, -2)$ માટે,$x = -3$ લો: $f'(-3) = 12(-6)(-1) = 72 > 0$. તેથી,$f$ વધતું વિધેય છે.
$2$. $(-2, 3)$ માટે,$x = 0$ લો: $f'(0) = 12(-3)(2) = -72 < 0$. તેથી,$f$ ઘટતું વિધેય છે.
$3$. $(3, \infty)$ માટે,$x = 4$ લો: $f'(4) = 12(1)(6) = 72 > 0$. તેથી,$f$ વધતું વિધેય છે.