वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$ है:
$(a)$ वर्धमान
$(b)$ ह्रासमान।

(A) हमें दिया गया है $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 12x^2 - 12x - 72$
$f'(x) = 12(x^2 - x - 6)$
$f'(x) = 12(x - 3)(x + 2)$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$12(x - 3)(x + 2) = 0$
$x = 3$ या $x = -2$।
बिंदु $x = -2$ और $x = 3$ वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, 3)$,और $(3, \infty)$।
प्रत्येक अंतराल में $f'(x)$ का चिह्न जाँचने पर:
$1$. $(-\infty, -2)$ के लिए,$x = -3$ लें: $f'(-3) = 12(-6)(-1) = 72 > 0$। अतः,$f$ वर्धमान है।
$2$. $(-2, 3)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f'(0) = 12(-3)(2) = -72 < 0$। अतः,$f$ ह्रासमान है।
$3$. $(3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लें: $f'(4) = 12(1)(6) = 72 > 0$। अतः,$f$ वर्धमान है।