फलन f(x) = frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 sin x + ( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 \sin x + (2x - 1) \cos x$। सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{12x^2 - 6x}{6}

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$[\frac{1}{2}, \infty)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 \sin x + (2x - 1) \cos x$। सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{12x^2 - 6x}{6} - 2 \cos x + [2 \cos x + (2x - 1)(-\sin x)]$ $f'(x) = (2x^2 - x) - 2 \cos x + 2 \cos x - (2x - 1) \sin x$ $f'(x) = x(2x - 1) - (2x - 1) \sin x$ $f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$। हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$x > \sin x$,इसलिए $(x - \sin x) > 0$। $x अब,$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं: $1$. यदि $x \in [\frac{1}{2}, \infty)$,तो $(2x - 1) \geq 0$ और $(x - \sin x) > 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$। अतः,$f(x)$ वर्धमान है। $2$. यदि $x \in [0, \frac{1}{2}]$,तो $(2x - 1) \leq 0$ और $(x - \sin x) \geq 0$,इसलिए $f'(x) \leq 0$। अतः,$f(x)$ ह्रासमान है। $3$. यदि $x \in (-\infty, 0]$,तो $(2x - 1) विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$f(x)$ अंतराल $[\frac{1}{2}, \infty)$ में वर्धमान है।

फलन $f(x) = \frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 \sin x + (2x - 1) \cos x$ के लिए:

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मान लीजिए $g(x) = f(x) + f(1 - x)$ और $0 \le x \le 1$ के लिए $f''(x) < 0$ है। $g(x)$ की एकदिष्टता (monotonicity) के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

वह अंतराल जिसमें फलन $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sin x + \cos x)$ एक वर्धमान फलन है,है

$K$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = \sin x - \cos x - Kx + 5$, $x$ के सभी धनात्मक वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान (decreasing) है।

फलन $f(x)=3x^{4}+16x^{3}-30x^{2}+10$ किस अंतराल के लिए वर्धमान (increasing) है?

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