अवकल समीकरण frac{dx}{dy} = frac{sin y(1 + y c | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y(1 + y \cot y)}{x \log(x^2 e)}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \log(x^2 e) dx = (\sin y + y \cos

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$y \sin y = x^2 \log x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y(1 + y \cot y)}{x \log(x^2 e)}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \log(x^2 e) dx = (\sin y + y \cos y) dy$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int x \log(x^2 e) dx = \int (\sin y + y \cos y) dy$.बाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $t = x^2 e$,तब $dt = 2x e dx$,इसलिए $x dx = \frac{dt}{2e}$.$\int \log(t) \frac{dt}{2e} = \frac{1}{2e} (t \log t - t) = \frac{x^2 e}{2e} (\log(x^2 e) - 1) = \frac{x^2}{2} (\log x^2 + \log e - 1) = \frac{x^2}{2} (2 \log x + 1 - 1) = x^2 \log x$.दाएँ पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = y \sin y - \int \sin y dy + \int \sin y dy = y \sin y + C$.अतः,$x^2 \log x = y \sin y + C$.चूँकि $y(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1^2 \log(1) = 0 \cdot \sin(0) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.इसलिए,विशिष्ट हल $x^2 \log x = y \sin y$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y(1 + y \cot y)}{x \log(x^2 e)}$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(1) = 0$ दिया गया है।

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