समीकरण sin^{-1} left( frac{dy}{dx} right) = x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin^{-1} \left( \frac{dy}{dx} \right) = x + y$ है। दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin(x + y)$ प्राप्त होता

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$	an(x + y) - \sec(x + y) = x + c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin^{-1} \left( \frac{dy}{dx} ight) = x + y$ है। दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin(x + y)$ प्राप्त होता है। माना $v = x + y$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$। इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v$,या $\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v$ प्राप्त होता है। चरों को अलग करने पर,$\frac{dv}{1 + \sin v} = dx$ प्राप्त होता है। अंश और हर को $(1 - \sin v)$ से गुणा करने पर,$\frac{1 - \sin v}{1 - \sin^2 v} dv = dx$,जो सरल होकर $\frac{1 - \sin v}{\cos^2 v} dv = dx$ हो जाता है। इसे $(\sec^2 v - \sec v 	an v) dv = dx$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (\sec^2 v - \sec v 	an v) dv = \int dx$ प्राप्त होता है। इससे $	an v - \sec v = x + c$ प्राप्त होता है। $v = x + y$ का मान वापस रखने पर,अंतिम हल $	an(x + y) - \sec(x + y) = x + c$ प्राप्त होता है।

समीकरण $\sin^{-1} \left( \frac{dy}{dx} \right) = x + y$ का हल ज्ञात कीजिए।

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