अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + sin left(frac{x+y} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin

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$\log 	an \left(\frac{y}{4}ight) = c - 2 \sin \left(\frac{x}{2}ight)$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}ight) = \sin \left(\frac{x-y}{2}ight)$ है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}ight) \sin \left(\frac{A-B}{2}ight)$ का उपयोग करने पर:$\sin \left(\frac{x+y}{2}ight) - \sin \left(\frac{x-y}{2}ight) = 2 \cos \left(\frac{x}{2}ight) \sin \left(\frac{y}{2}ight)$.अतः,समीकरण $\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left(\frac{x}{2}ight) \sin \left(\frac{y}{2}ight)$ हो जाता है।चरों को पृथक करने पर,हमें $\frac{dy}{\sin(y/2)} = -2 \cos(x/2) dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \csc(y/2) dy = -2 \int \cos(x/2) dx$.$2 \log |	an(y/4)| = -2(2 \sin(x/2)) + c_1$.$2$ से भाग देने पर: $\log |	an(y/4)| = -2 \sin(x/2) + c$,जहाँ $c = c_1/2$.अतः,व्यापक हल $\log 	an \left(\frac{y}{4}ight) = c - 2 \sin \left(\frac{x}{2}ight)$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ का व्यापक हल है

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$\cos y \frac{dy}{dx} = e^{x+\sin y} + x^2 e^{\sin y}$ का हल $f(x) + e^{-\sin y} = C$ ($C$ एक स्वैच्छिक वास्तविक स्थिरांक है) है, जहाँ $f(x)$ बराबर है:

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$ का व्यापक हल है

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx}=1; y=0$ जब $x=2$

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y}, (y \neq 2)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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