मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (5y+2)(5y-2) = 25y^2 - 4$ है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{25y^2 - 4} = dx$ प्राप्त होता है।आंशिक भिन्नों क

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$0.40$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (5y+2)(5y-2) = 25y^2 - 4$ है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{25y^2 - 4} = dx$ प्राप्त होता है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(5y-2)(5y+2)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} ight)$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} ight) dy = \int dx$.$\frac{1}{20} \ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} ight| = x + C$.चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर: $\frac{1}{20} \ln |\frac{-2}{2}| = 0 + C \Rightarrow C = 0$.अतः,$\ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} ight| = 20x$.$\frac{5y-2}{5y+2} = -e^{20x}$ (क्योंकि $x=0$ पर मान $-1$ है)।$y$ के लिए हल करने पर: $5y-2 = -5ye^{20x} - 2e^{20x} \Rightarrow 5y(1+e^{20x}) = 2(1-e^{20x})$.$y = \frac{2}{5} \frac{1-e^{20x}}{1+e^{20x}}$.जैसे ही $x ightarrow -\infty$,$e^{20x} ightarrow 0$ होता है।इसलिए,$\lim_{x ightarrow -\infty} f(x) = \frac{2}{5} 	imes \frac{1-0}{1+0} = \frac{2}{5} = 0.40$.

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