left(frac{dy}{dx}right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$ दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\left(\frac{dy}{dx}

Vedclass · Accepted Answer

$2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$ दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = (1 - x^{2}) - y^{2}(1 - x^{2}) = (1 - x^{2})(1 - y^{2})$ दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}$ चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \sqrt{1 - x^{2}} dx$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \int \sqrt{1 - x^{2}} dx$ मानक समाकलनों का उपयोग करने पर $\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} dy = \sin^{-1} y$ और $\int \sqrt{1 - x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$: $\sin^{-1} y = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$ दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + 2C_1$ मान लीजिए $C = 2C_1$,तो: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + C$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$ का व्यापक हल है

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