दिया गया है कि किसी वक्र y=y(x) के किसी बिंदु | vedclass

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Question

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y=0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ प्राप्त होता है। अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है। वक्र क

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$x \log |y|=2(x-1)$

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(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y=0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ प्राप्त होता है। अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है। वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x^2}$ द्वारा दी गई है। चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x^2} dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log |y| = -\frac{2}{x} + c$ प्राप्त होता है। चूंकि वक्र $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $\log |1| = -\frac{2}{1} + c \implies 0 = -2 + c \implies c = 2$. सामान्य हल में $c=2$ रखने पर,हमें $\log |y| = -\frac{2}{x} + 2$ प्राप्त होता है। $x$ से गुणा करने पर,$x \log |y| = -2 + 2x = 2(x-1)$ प्राप्त होता है।

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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अवकल समीकरण $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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