પરવલય y=x^{2} થી બિંદુ (0, c) નું લઘુત્તમ અંત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે $D$ એ $(h, k)$ અને $(0, c)$ વચ્ચેનું અંતર છે.$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \s

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{4c-1}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે $D$ એ $(h, k)$ અને $(0, c)$ વચ્ચેનું અંતર છે.$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2} + (k-c)^{2}}$.કારણ કે $(h, k)$ એ $y=x^{2}$ પર આવેલું છે,તેથી $k=h^{2}$ થાય,એટલે કે $h^{2}=k$.આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $D(k) = \sqrt{k + (k-c)^{2}}$ મળે છે.લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(k) = k + (k-c)^{2} = k + k^{2} - 2kc + c^{2} = k^{2} + k(1-2c) + c^{2}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીશું.$k$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(k) = 2k + 1 - 2c$.$f'(k) = 0$ લેતા,આપણને $2k = 2c - 1$,અથવા $k = \frac{2c-1}{2}$ મળે છે.જો $c \leq \frac{1}{2}$ હોય,તો લઘુત્તમ અંતર શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર મળે છે,જે $c$ છે. જો $c > \frac{1}{2}$ હોય,તો લઘુત્તમ અંતર $k = \frac{2c-1}{2}$ પર મળે છે.$k = \frac{2c-1}{2}$ ને $D(k)$ માં મૂકતા:$D = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (\frac{2c-1}{2} - c)^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (-\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4c-2+1}{4}} = \frac{\sqrt{4c-1}}{2}$.

List-$I$	List-$II$
$A$. વક્ર $y^2 = 4x$ પર $(2, \sqrt{8})$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકનું સમીકરણ	$(i) -36$
$B$. વક્ર $y^2 = 16x$ ના અભિલંબનું સમીકરણ,જે તેની અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે	$(ii) 4$
$C$. વક્ર $y^2 = 12x$ પરના બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતી જીવા નાભિસ્થ જીવા હોય તો $y_1 y_2 =$	$(iii) 8$
$D$. $k$ ની કઈ કિંમત માટે $x - 3 = 0$ એ વક્ર $y^2 - kx + 16 = 0$ ની નિયામિકા છે	$(iv) x - \sqrt{2}y + 2 = 0$
	$(v) x + y - 12 = 0$
	$(vi) x - y - 12 = 0$

પરવલય $y=x^{2}$ થી બિંદુ $(0, c)$ નું લઘુત્તમ અંતર શોધો,જ્યાં $0 \leq c \leq 5$.

Similar Questions

પરવલય ${(y - 2)^2} = 20(x + 3)$ નું નાભિ (focus) શોધો.

નીચેનામાંથી કયો વક્ર પરવલય $y^2 = 4ax$ ને કાટખૂણે છેદે છે?

જો પરવલય $y^2 = x$ પરના કોઈ બિંદુનું નાભિ અંતર $17/4$ હોય અને તે પ્રથમ ચરણમાં હોય,તો આ બિંદુ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.

પરવલય $y = \frac{h^3}{3} x^2 + \frac{h^2}{2} x - h + \frac{3}{4 h^3}$ માટે,જો નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k$ હોય,તો $k : h$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module