श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: tan^{-1} left( fra | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का व्यापक पद $T_k = 	an^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k + 1)} ight)$ है।हम तर्क को $\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k + 1)}$ के रूप में लिख सकते ह

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$	an^{-1} \left( \frac{n}{n + 2} ight)$

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(A) श्रेणी का व्यापक पद $T_k = 	an^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k + 1)} ight)$ है।हम तर्क को $\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k + 1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} ight)$ का उपयोग करने पर, हमें $T_k = 	an^{-1}(k + 1) - 	an^{-1}(k)$ प्राप्त होता है।योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (	an^{-1}(k + 1) - 	an^{-1}(k))$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (	an^{-1} 2 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 2) + \dots + (	an^{-1}(n + 1) - 	an^{-1} n)$।सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं, जिससे $S_n = 	an^{-1}(n + 1) - 	an^{-1}(1)$ बचता है।पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर, $S_n = 	an^{-1} \left( \frac{(n + 1) - 1}{1 + (n + 1)(1)} ight) = 	an^{-1} \left( \frac{n}{n + 2} ight)$।

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + 1 \times 2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + 2 \times 3} \right) + \dots + \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + n(n + 1)} \right) =$

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