$\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच स्थित तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{a \cdot b}$ सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
$1$. $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच पहली अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{15}} = 15^{\frac{1}{4}}$.
$2$. $\sqrt{3}$ और $15^{\frac{1}{4}}$ के बीच दूसरी अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 15^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$.
$3$. $\sqrt{3}$ और $3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ के बीच तीसरी अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{7}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = 3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$.
अतः,$\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ $15^{\frac{1}{4}}$,$3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ और $3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$ हैं।