पाँच अलग-अलग रंगों की गेंदों को तीन अलग-अलग आकारों के बक्सों में रखा जाना है। गेंदों को बक्सों में रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।

यदि $f(n) = n! (31-n)!$,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots, 31\}$,तो $f(n)$ का न्यूनतम मान क्या है?

मान लीजिए $S$ उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें $0, 1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$2210222$ समुच्चय $S$ में है,लेकिन $0210222$ समुच्चय $S$ में नहीं है। तो $S$ में ऐसे अवयवों $x$ की संख्या,जिनमें $0$ और $1$ अंकों में से कम से कम एक अंक ठीक दो बार आता है,वह $....$ के बराबर है।

एक पुरुष $P$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएं हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Q$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएं हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $P$ और $Q$ का कोई भी मित्र समान नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $P$ और $Q$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित करके एक पार्टी दे सकते हैं,ताकि $P$ और $Q$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों।

अंकों $1, 3, 5, 6, 8$ का उपयोग करके तीन और चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। यदि $e_1$ तीन अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $e_2$ चार अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। साथ ही,$O_1$ तीन अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $O_2$ चार अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। तो:

$3$ लड़कों $B_i, i = 1, 2, 3$ और $6$ लड़कियों $G_i, i = 1, 2, . . . , 6$ को एक पंक्ति में बैठाना है। उन्हें कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि $B_1, B_2$ अलग-अलग रहें और $G_1, G_2$ भी अलग-अलग रहें?