$\alpha, \beta \in R$ માટે,ધારો કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x-y+z=5$,$2x+2y+\alpha z=8$,અને $3x-y+4z=\beta$ ને અનંત ઉકેલો છે. તો $\alpha$ અને $\beta$ એ કોના બીજ છે?

ધારો કે $a$ એ $(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો છે અને $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$. જો સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $2bx^2+ax+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $c, d, e \in \mathbb{R}$,તો $d:c:e$ બરાબર શું થાય?

સમીકરણ સંહતિ $x+2y+3z=6, x+3y+5z=9, 2x+5y+\lambda z=\mu$ માટે $\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમતો તપાસો અને યાદી-$I$ માં આપેલી કિંમતોને યાદી-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(A)$ $\lambda=8, \mu \neq 15$	$1$. અનંત ઉકેલો
$(B)$ $\lambda \neq 8, \mu \in R$	$2$. ઉકેલ નથી
$(C)$ $\lambda=8, \mu=15$	$3$. અનન્ય ઉકેલ

$\lambda$ ની કઈ કિંમત માટે,સમીકરણ સંહતિ $x + y + z = 6$,$x + 2y + 3z = 10$,અને $x + 2y + \lambda z = 12$ અસંગત છે? $\lambda = $ ........

$\alpha$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે સમીકરણ સંહતિ: $x+y+z=\alpha$,$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$,અને $x+3 \alpha y+5 z=4$ અસંગત છે?

એક ટ્રસ્ટ ફંડ પાસે Rs. $30,000$ છે જે બે અલગ-અલગ પ્રકારના બોન્ડમાં રોકવાના છે. પ્રથમ બોન્ડ વાર્ષિક $5 \%$ વ્યાજ આપે છે અને બીજો બોન્ડ વાર્ષિક $7 \%$ વ્યાજ આપે છે. શ્રેણિક ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે જો ટ્રસ્ટ ફંડને વાર્ષિક કુલ Rs. $2000$ વ્યાજ મેળવવું હોય,તો Rs. $30,000$ ને બે પ્રકારના બોન્ડ વચ્ચે કેવી રીતે વહેંચવા જોઈએ.