a, b 0 के लिए,मान लीजिए f(x) = begin{cases} | vedclass

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Question

(D) चूँकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए बायाँ सीमा $(LHL)$ और दायाँ सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।सबसे पहले,$LHL$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} f(x)

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$6$

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(D) चूँकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए बायाँ सीमा $(LHL)$ और दायाँ सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।सबसे पहले,$LHL$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} \frac{	an((a+1)x) + b 	an x}{x} = \lim_{x 	o 0^-} \left( \frac{	an((a+1)x)}{x} + \frac{b 	an x}{x} ight) = (a+1) + b$.अब,$RHL$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{ax + b^2x^2} - \sqrt{ax}}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{ax}(\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1)}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1}{b x}$.$(1+u)^{1/2} \approx 1 + \frac{u}{2}$ विस्तार का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0^+} \frac{1 + \frac{b^2}{2a}x - 1}{b x} = \frac{b^2}{2ab} = \frac{b}{2a}$.$LHL$ और $RHL$ को बराबर रखने पर:$a + 1 + b = \frac{b}{2a}$.विकल्पों के अनुसार $\frac{b}{a} = 6$ लेने पर,$b = 6a$ प्राप्त होता है।यह मान रखने पर: $a + 1 + 6a = \frac{6a}{2a} \Rightarrow 7a + 1 = 3 \Rightarrow 7a = 2 \Rightarrow a = 2/7$.अतः $b = 12/7$। इस प्रकार,$\frac{b}{a} = 6$ सही उत्तर है।

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