x in R માટે,ધારો કે વિધેય y(x) એ વિકલ સમીકરણ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 12$ અને $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ છે.સંકલ્યકારક

Vedclass · Accepted Answer

એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $\beta$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદે છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 12$ અને $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} xight)$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) dx + C$ છે.સૂત્ર $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા:$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight)ight) + C$.સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight)ight) + C e^{-12x}$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$,તેથી $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.આમ,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight) - 12 e^{-12x}ight)$.જેમ $x 	o \infty$,તેમ $e^{-12x} 	o 0$,તેથી $y(x)$ એ આવર્તી વિધેય $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phiight)$ ની નજીક પહોંચે છે.કારણ કે $y(x)$ આવર્તી વિધેયની નજીક પહોંચે છે,તેથી આ આવર્તી વિધેયના વિસ્તારમાં રહેલી કોઈ કિંમત $\beta$ માટે,રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદશે. તેથી,વિધાન $C$ $TRUE$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0, x > 0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જે બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અને $y(0) = -\frac{7}{4}$ છે. તો $y(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને કોઈ પણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{y}{x + y}$ હોય તેવા વક્રનું સમીકરણ શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module