$k > 0$ के लिए,$\sum_{x=0}^{\infty} \frac{k^x}{x !} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{n !}{(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{1}{n}\right)^x$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक पासे को तीन बार उछाला जाता है। यदि सम संख्या प्राप्त करने की घटना एक सफलता है,तो कम से कम $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

यदि $X$ एक द्विपद चर है जिसका परिसर $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ है और $P(X=3) = 3P(X=4)$ है,तो द्विपद वितरण का प्राचल $p$ क्या है?

$B_1, B_2, \ldots, B_6$ लेबल वाले $6$ बक्से हैं। प्रत्येक प्रयास में,दो निष्पक्ष पासे $D_1, D_2$ फेंके जाते हैं। यदि $D_1$ पर $j$ और $D_2$ पर $k$ आता है,तो बक्से $B_k$ में $j$ गेंदें डाली जाती हैं। $n$ प्रयासों के बाद,क्या प्रायिकता है कि $B_1$ में अधिकतम एक गेंद हो?

यदि $12$ समान गेंदों को $3$ अलग-अलग बक्सों में रखा जाना है,तो इसकी प्रायिकता क्या है कि किसी एक बक्से में ठीक $3$ गेंदें हों:

एक कारखाने द्वारा उत्पादित बल्ब के $150$ दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता $0.05$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ऐसे $5$ बल्बों में से कम से कम एक बल्ब $150$ दिनों के बाद फ्यूज हो जाएगा।